2021년도 1회차 수학기출문제풀이

1번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
주어진 문제는 다항식에서 동류항을 이해하고 이를 활용하여 계산하는 능력을 묻습니다. 동류항은 같은 차수를 가진 항끼리 더하거나 빼는 연산이 가능합니다.
풀이 과정:
1. 주어진 다항식에서 각 항을 분리하여 동류항끼리 묶습니다.
2. \( A \)와 \( B \)는 모두 상수항이므로 서로 더하거나 빼는 연산을 수행합니다.
3. 결과적으로 동류항 계산을 통해 최종 다항식을 완성합니다.

예시: \( (2x^2 + 3x + 4) + (x^2 - 2x + 5) \)의 경우,
\[ = (2x^2 + x^2) + (3x - 2x) + (4 + 5) \] \[ = 3x^2 + x + 9 \] 따라서, 주어진 문제의 풀이도 동일한 방법으로 진행됩니다.
결론:
동류항의 개념을 적용하여 연산을 수행하면 정답은 ④입니다.

2번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
항등식의 정의를 이해하고, 계수 비교를 통해 값을 계산하는 문제입니다. 항등식이란 등호의 좌변과 우변이 모든 경우에 대해 항상 같은 값을 가지는 식입니다.
풀이 과정:
1. 항등식에서 좌변과 우변의 같은 차수를 가지는 항의 계수를 비교합니다.
2. 문제에서 \( a \)는 차수가 1인 항의 계수이므로, 우변에서 차수가 1인 항의 계수 \( 3 \)을 찾습니다.
3. \( b \)는 상수항으로, 좌변에서 상수항 \( 2 \)를 확인합니다.
4. 두 값을 더하여 \( a + b = 3 + 2 = 5 \)를 얻습니다.
결론:
항등식의 정의를 이용하여 정답은 ②입니다.

3번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
다항식 나눗셈을 이해하고 이를 반복적으로 적용하여 나머지를 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 나누어지는 다항식의 최고차항을 나누는 식의 최고차항으로 나눕니다.
2. \( x-1 \)에 \( x^2 \)를 곱하여 \( x^3 - x^2 \)를 계산합니다.
3. 이를 원래 식에서 빼고, 남은 항에 대해 같은 과정을 반복합니다.
4. 최종적으로 나머지가 \( 0 \)이 될 때까지 과정을 수행하여 값을 구합니다.
결론:
반복적인 나눗셈 과정을 통해 정답은 ②입니다.

4번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
삼차방정식을 전개하여 계수를 비교하고, 값을 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 삼차방정식 \( (x-1)^3 \)을 전개합니다.
2. 전개 결과는 \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)입니다.
3. 주어진 식과 비교하여 \( 2 - a = 0 \)를 풉니다.
4. 이를 통해 \( a = 2 \)임을 구합니다.
결론:
방정식을 전개하고 계수를 비교하여 정답은 ①입니다.

5번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
복소수의 실수부와 허수부를 분리하여 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 복소수는 \( (x - 2) \)와 \( yi \)로 분리됩니다.
2. 좌변의 실수부와 허수부를 각각 우변과 비교합니다.
3. 실수부를 기준으로 \( x = 3 \), 허수부를 기준으로 \( y = 4 \)를 구합니다.
결론:
실수부와 허수부를 분리하여 계산하면 정답은 ④입니다.

6번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 이차방정식의 표준형은 \( ax^2 + bx + c = 0 \)입니다.
2. 근과 계수의 관계는 \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)와 \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)를 따릅니다.
3. \( a = 1 \), \( c = 2 \)를 대입하여 \( \alpha \beta = \frac{2}{1} = 2 \)를 얻습니다.
결론:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하여 정답은 ④입니다.

7번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
이차함수의 그래프에서 최대값 또는 최소값을 확인하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)의 꼭짓점은 \( x = -\frac{b}{2a} \)에서 계산됩니다.
2. 꼭짓점에서의 \( x \) 값을 대입하여 \( y \) 값을 확인합니다.
3. 주어진 그래프에서 \( x = 0 \)일 때 \( y = 5 \)가 최대값임을 확인합니다.
결론:
이차함수의 그래프에서 최대값을 구하여 정답은 ③입니다.

8번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하고 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 삼차방정식의 근과 계수는 다음과 같은 관계를 만족합니다:
- \( \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \)
- \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \)
- \( \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} \)
2. 주어진 조건을 대입하여 \( b = -2 \)임을 계산합니다.
결론:
근과 계수의 관계를 이용하여 정답은 ①입니다.

9번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
연립부등식을 풀어 공통 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식을 풀이하여 해를 구합니다.
2. 두 번째 부등식을 풀이하여 해를 구합니다.
3. 두 부등식의 교집합을 계산하여 \( a = 5 \)를 얻습니다.
결론:
연립부등식을 풀이하여 공통 해를 구하면 정답은 ①입니다.

10번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
절댓값이 포함된 일차부등식을 풀어 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 절댓값을 해제하여 두 경우로 나눕니다: \( x+1 \geq 2 \)와 \( x+1 \leq -2 \).
2. 각각의 경우를 풀이하여 \( x \geq 1 \) 및 \( x \leq -3 \)를 얻습니다.
3. 문제의 조건을 만족하는 값을 확인하여 \( a = 1 \)임을 도출합니다.
결론:
절댓값 부등식을 풀이하여 정답은 ①입니다.

11번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
두 점 사이의 거리를 계산하는 문제입니다. 피타고라스의 정리를 이용합니다.
풀이 과정:
1. 두 점의 좌표를 각각 \( (x_1, y_1) \)과 \( (x_2, y_2) \)로 설정합니다.
2. 두 점 사이의 거리는 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)로 계산됩니다.
3. \( x \)-축의 차이는 \( 1 - (-1) = 2 \), \( y \)-축의 차이는 \( 4 - 2 = 2 \)입니다.
4. 따라서 \( \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)입니다.
결론:
계산 결과를 통해 정답은 ④입니다.

12번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
두 직선이 수직일 때, 기울기의 곱이 -1이라는 성질을 활용하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 주어진 직선의 기울기는 \( 1 \)입니다.
2. 수직인 직선의 기울기는 \( -1 \)이어야 합니다.
3. 새로운 직선의 방정식은 \( y = -x + b \)의 형태입니다.
4. \( (0, 2) \)를 지나므로 \( 2 = -0 + b \), 따라서 \( b = 2 \)입니다.
5. 최종 방정식은 \( y = -x + 2 \)입니다.
결론:
수직 조건과 점을 이용하여 정답은 ②입니다.

13번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
원의 중심과 반지름을 이용해 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 중심이 \( (-2, 1) \)이고, 반지름이 주어진 경우, 원의 방정식은 \( (x+2)^2 + (y-1)^2 = r^2 \) 형태입니다.
2. 반지름의 길이는 \( 5 \)이므로 \( r^2 = 25 \)입니다.
3. 최종 방정식은 \( (x+2)^2 + (y-1)^2 = 25 \)입니다.
결론:
중심과 반지름을 통해 정답은 ③입니다.

14번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
점을 x축과 y축 방향으로 평행 이동하여 새로운 좌표를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 주어진 점 \( (2, 1) \)을 x축으로 -2만큼, y축으로 2만큼 이동합니다.
2. x좌표: \( 2 + (-2) = 0 \)
3. y좌표: \( 1 + 2 = 3 \)
4. 결과 좌표는 \( (0, 3) \)입니다.
결론:
평행 이동을 통해 정답은 ②입니다.

15번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
두 집합의 합집합을 구하고 원소의 개수를 확인하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 집합 \( A = \{1, 2, 3\} \), 집합 \( B = \{3, 4, 5\} \)입니다.
2. 두 집합의 합집합은 \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \)입니다.
3. 합집합의 원소 개수는 \( 5 \)입니다.
결론:
합집합을 계산하여 정답은 ③입니다.

16번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
명제의 "대우" 개념을 이해하고 이를 활용하는 문제입니다. 대우는 명제의 역을 취하고 이를 부정하는 형태입니다.
풀이 과정:
1. 주어진 명제: "x=2이면 \( f(x)=4 \)"
2. 역: "\( f(x)=4 \)이면 x=2이다."
3. 대우: "\( f(x) \neq 4 \)이면 \( x \neq 2 \)이다."
4. 명제와 대우는 논리적으로 동일함을 이용해 문제를 풀이합니다.
결론:
명제의 대우를 올바르게 계산하면 정답은 ④입니다.

17번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
합성함수를 이해하고 주어진 값을 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 주어진 함수 \( f(g(x)) \)에서 \( g(x) \)를 먼저 계산합니다.
2. \( g(2) \)의 값을 그래프에서 찾아 \( g(2) = 3 \)임을 확인합니다.
3. 이후 \( f(3) \)을 계산하여 \( f(3) = 4 \)임을 확인합니다.
결론:
합성함수 계산을 통해 정답은 ①입니다.

18번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
무리함수 그래프의 평행이동과 해당 상수를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 함수 \( y = a\sqrt{x} + b \)의 그래프에서 상수 \( a \)와 \( b \)를 찾습니다.
2. 그래프 상에서 \( x = 1 \)일 때 \( y = -2 \)임을 확인합니다.
3. 대입하여 \( a = 2 \)와 \( b = -2 \)를 구합니다.
결론:
무리함수의 상수를 계산하여 정답은 ①입니다.

19번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
경우의 수를 순서를 고려하여 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 3개의 항목 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 순열 \( P(3, 2) \)를 이용하여 계산합니다.
2. \( P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 \)입니다.
결론:
경우의 수를 계산하여 정답은 ②입니다.

20번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
순서 없는 경우의 수를 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 4개의 항목 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 조합 \( C(4, 2) \)를 이용하여 계산합니다.
2. \( C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \)입니다.
결론:
순서 없는 경우의 수를 계산하여 정답은 ③입니다.

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