2021년도 2회차 수학기출문제풀이

1번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
문제는 동류항을 이해하고 계산하는 능력을 묻습니다. 동류항이란 같은 차수를 가진 항을 말합니다. 같은 차수의 항끼리만 덧셈 또는 뺄셈 연산이 가능합니다.
풀이 과정:
1. 주어진 다항식의 각 항을 확인합니다.
2. 동류항(같은 차수를 가진 항)끼리 묶습니다.
3. 각 동류항을 더하거나 빼는 연산을 수행합니다.
4. 결과를 간단히 정리하여 최종적으로 다항식을 얻습니다.

예를 들어, \( 2x^2 + 3x - 5 \)와 \( x^2 - 4x + 6 \)을 뺄 경우:
\[ (2x^2 + 3x - 5) - (x^2 - 4x + 6) = 2x^2 - x^2 + 3x + 4x - 5 - 6 \] \[ = x^2 + 7x - 11 \] 따라서 동류항을 묶어 정리하면 최종 결과가 나옵니다.
결론:
동류항의 개념을 올바르게 이해하고 계산 과정을 수행하면 정답은 ④입니다.

2번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
항등식의 개념을 묻는 문제입니다. 항등식이란, 등호의 좌변과 우변이 항상 같도록 성립하는 식입니다.
풀이 과정:
1. 항등식의 정의를 이용하여, 식의 좌변과 우변의 계수 비교를 통해 미지수를 구합니다.
2. \( a \)의 차수는 1이므로 좌변에서 차수가 1인 항의 계수 \( 3 \)을 찾습니다.
3. \( b \)는 상수항이므로 좌변에서 -7임을 확인합니다.
4. 따라서 \( a + b = 3 - 7 = -4 \)입니다.
결론:
항등식의 정의를 이해하고, 각 항의 계수를 비교하여 계산하면 정답은 ②입니다.

3번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
다항식 나눗셈을 이해하고, 차수와 계수를 조작하여 계산하는 능력을 묻는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 나누어지는 다항식의 최고차항과 나누는 다항식의 차수를 같게 만들어 빼는 과정을 반복합니다.
2. 문제에서 \( x-1 \)에 \( x^2 \)을 곱해 \( x^3 - x^2 \)을 얻고, 이를 \( x^3 + 2x^2 - 5x \)에서 뺍니다.
3. 남은 식에서 다시 \( x-1 \)을 곱하여 차수를 낮추고, 이를 반복하여 나머지를 계산합니다.
4. 최종적으로 나머지가 0이 되며, \( a = 1 \)임을 확인합니다.
결론:
나눗셈 과정을 반복하여 나머지를 구하고, 이를 활용해 정답을 도출하면 ①입니다.

4번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
삼차방정식의 전개와 인수분해를 이해하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 삼차방정식 \( (x - 3)^3 \)을 전개합니다.
2. 이를 전개하여 \( x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \)임을 확인합니다.
3. 주어진 식과 비교하여 \( a - 9 = 0 \)에서 \( a = 9 \)를 구합니다.
4. 정답은 주어진 식의 계수와 비교하여 도출됩니다.
결론:
삼차방정식의 전개를 수행하여 \( a \) 값을 구하면 정답은 ④입니다.

5번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
복소수를 포함한 방정식 풀이를 요구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. \( (2+i)(a+b) = 0 \)에서 좌변을 전개하여 \( 2a + ai + 2b + bi = 0 \)를 얻습니다.
2. 실수부와 허수부를 각각 분리하여, \( 2a + 2b = 0 \) 및 \( a + b = 0 \)을 도출합니다.
3. 이를 연립하여 계산하면 \( a = -2 \)를 구합니다.
결론:
복소수의 실수부와 허수부를 분리하여 문제를 풀이하면 정답은 ①입니다.

6번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하는 문제입니다. 이 관계는 이차방정식의 계수를 통해 근의 합과 곱을 계산할 수 있게 합니다.
풀이 과정:
1. 이차방정식의 표준형 \( ax^2 + bx + c = 0 \)에서 근과 계수의 관계는 \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \), \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)입니다.
2. 문제의 계수를 \( a = 1 \), \( b = -4 \)로 대입하여 \( \alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4 \)를 얻습니다.
3. 이를 통해 정답이 ③임을 확인합니다.
결론:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하여 계산하면 정답은 ③입니다.

7번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
이차함수의 그래프에서 최대 또는 최소 값을 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)에서 꼭짓점은 \( x = -\frac{b}{2a} \)에서 계산됩니다.
2. \( x \) 값을 대입하여 \( y \) 값을 계산합니다.
3. 주어진 그래프에서 \( x = 0 \)일 때 \( y = -3 \)이 최솟값임을 확인합니다.
결론:
이차함수의 그래프에서 최솟값을 확인하여 정답은 ①입니다.

8번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 삼차방정식의 근과 계수는 다음 관계식을 만족합니다: \( \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \), \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \), \( \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \).
2. 주어진 근과 계수를 대입하여 각 관계식을 계산합니다.
3. 모든 값을 대입하고 정리하여 \( b = 2 \)임을 확인합니다.
결론:
근과 계수의 관계를 통해 정답을 도출하면 ②입니다.

9번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
연립부등식의 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 각 부등식을 풀어 해를 구합니다.
2. 두 부등식의 교집합(공통 해)을 구하여 문제를 풀이합니다.
3. 최종 해에서 \( a = 5 \)임을 확인합니다.
결론:
연립부등식의 교집합 해를 통해 정답은 ①입니다.

10번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
절댓값 부등식을 풀고 해를 구하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 절댓값을 해제하여 두 경우로 나눕니다: \( x-2 \geq 2 \)와 \( x-2 \leq -2 \).
2. 각각의 경우를 풀어 \( x \geq 4 \) 및 \( x \leq 0 \)를 얻습니다.
3. 문제의 조건을 만족하는 \( a = 4 \)임을 확인합니다.
결론:
절댓값 부등식을 풀이하여 정답은 ①입니다.

11번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 피타고라스의 정리를 활용해야 합니다.
풀이 과정:
1. 두 점 \( (x_1, y_1) \)과 \( (x_2, y_2) \)의 거리는 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)로 계산합니다.
2. 주어진 점에서 \( x \)-축의 거리는 \( 2 - (-2) = 4 \), \( y \)-축의 거리는 \( 4 - 1 = 3 \)입니다.
3. 따라서 거리 \( \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)입니다.
결론:
두 점 사이의 거리를 계산하여 정답은 ③입니다.

12번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
직선의 방정식에서 평행 조건을 사용하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 직선이 평행하다는 것은 기울기가 같다는 의미입니다.
2. 주어진 직선 \( y = 2x + 3 \)과 평행한 직선의 방정식은 \( y = 2x + b \) 형태입니다.
3. 문제에서 점 \( (0, 6) \)을 지나므로, 이 점을 대입하여 \( 6 = 2(0) + b \)에서 \( b = 6 \)임을 확인합니다.
4. 따라서 방정식은 \( y = 2x + 6 \)입니다.
결론:
직선의 기울기와 평행 조건을 고려하여 정답은 ④입니다.

13번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
원의 방정식을 구하기 위해 중심과 반지름을 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 원의 방정식은 \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) 형태로 중심과 반지름이 필요합니다.
2. 두 점의 중점으로 중심 \( (h, k) \)를 계산하고, 중점에서 반지름 길이를 구합니다.
3. 주어진 점을 대입하여 원의 방정식 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 8 \)을 구합니다.
결론:
중심과 반지름을 계산하여 원의 방정식으로 표현하면 정답은 ④입니다.

14번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
대칭 이동을 묻는 문제로, 축에 대해 대칭 이동의 특성을 이해해야 합니다.
풀이 과정:
1. x축에 대해 대칭 이동하면 y값이 반대가 됩니다.
2. 주어진 점 \( (2, -5) \)을 대칭 이동하여 \( (2, 5) \)를 구합니다.
3. 점의 이동 결과를 문제의 조건과 비교하여 해를 찾습니다.
결론:
대칭 이동의 특성을 활용하여 정답은 ③입니다.

15번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
두 집합의 교집합과 해당 원소의 개수를 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 두 집합 \( A \)와 \( B \)의 교집합은 \( \{1, 2\} \)로 확인됩니다.
2. 교집합의 원소 개수는 2입니다.
3. 결과를 정리하여 문제의 해와 비교합니다.
결론:
교집합을 계산하여 원소의 개수를 확인하면 정답은 ①입니다.

16번 문제

정답: ③

문제 풀이

문제 분석:
명제에서 "역"의 개념을 이해하고 적용하는 문제입니다. 역은 가정과 결론을 바꾼 형태입니다.
풀이 과정:
1. 명제 "x = 1이면 \( f(x) = 2 \)"를 주어진 문제로 분석합니다.
2. 역은 가정과 결론을 바꿔서 "f(x) = 2이면 x = 1이다"로 정의됩니다.
3. 주어진 명제를 바탕으로 역의 정의를 적용하여 해를 도출합니다.
결론:
명제의 역을 올바르게 적용하면 정답은 ③입니다.

17번 문제

정답: ④

문제 풀이

문제 분석:
합성함수의 정의와 계산 과정을 이해하고 적용하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 주어진 함수 \( f(g(x)) \)에서 \( g(x) \)를 먼저 계산한 후 \( f(x) \)에 대입합니다.
2. 문제 조건에 따라 \( g(2) \)의 값을 그래프에서 찾아 \( g(2) = 3 \)을 확인합니다.
3. 이후 \( f(3) \)을 계산하여 \( f(3) = 4 \)를 얻습니다.
결론:
합성함수 계산을 올바르게 수행하여 정답은 ④입니다.

18번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
유리함수의 점근선을 이해하고 이를 이용하여 식을 도출하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 유리함수 \( y = \frac{a}{x-h} + k \)의 점근선은 \( x = h \)와 \( y = k \)입니다.
2. 주어진 점근선 \( x = 3 \)과 \( y = 4 \)를 식에 대입합니다.
3. 이를 정리하여 유리함수 \( y = \frac{1}{x-3} + 4 \)를 얻습니다.
결론:
점근선을 활용하여 유리함수를 도출하면 정답은 ②입니다.

19번 문제

정답: ①

문제 풀이

문제 분석:
순서 있는 경우의 수를 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 4개의 항목 중에서 2개를 뽑는 순열은 \( P(4, 2) = 4 \times 3 \)입니다.
2. 이를 계산하면 총 경우의 수는 \( 12 \)입니다.
결론:
순서가 있는 경우의 수를 계산하여 정답은 ①입니다.

20번 문제

정답: ②

문제 풀이

문제 분석:
순서 없는 경우의 수를 계산하는 문제입니다.
풀이 과정:
1. 5개의 항목 중에서 2개를 뽑는 조합은 \( C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2} \)입니다.
2. 이를 계산하면 총 경우의 수는 \( 10 \)입니다.
결론:
순서가 없는 경우의 수를 계산하여 정답은 ②입니다.

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