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1번 문제
정답: ④
문제 풀이
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문제 분석 동류항이란 동일한 차수를 가진 항을 의미합니다. 이를 활용하여 다항식을 정리합니다. |
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풀이 과정 주어진 다항식에서 동류항끼리 묶어 계산합니다. 예를 들어, \( 2x^2 + 3x - 4x^2 + x + 5 \)라면, \( (2x^2 - 4x^2) + (3x + x) + 5 \)로 정리됩니다. 계산하면 \( -2x^2 + 4x + 5 \)가 됩니다. |
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결론 정리된 다항식에서 답은 ④입니다. |
2번 문제
정답: ②
문제 풀이
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문제 분석 항등식은 등호(=)를 기준으로 왼쪽과 오른쪽의 다항식이 같을 때 성립하는 식입니다. 항등식의 특성을 이해하면 문제를 해결할 수 있습니다. |
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풀이 과정 주어진 항등식: \( ax + b = x - 1 \). 1. 두 다항식을 전개하거나, 동류항끼리 비교합니다. 2. \( a \)는 \( x \)의 계수이므로, 왼쪽의 \( a \)와 오른쪽의 1을 비교하여 \( a = 1 \). 3. \( b \)는 상수항으로, 왼쪽의 \( b \)와 오른쪽의 \( -1 \)을 비교하여 \( b = -1 \). |
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결론 \( a = 1 \)과 \( b = -1 \)을 대입하여 식을 검산하면, 항등식이 성립합니다. 따라서 정답은 ②입니다. |
3번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 조립제법은 다항식을 나누는 효율적인 방법으로, 계수만을 사용하여 계산합니다. |
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풀이 과정 주어진 다항식을 \( x - 1 \)로 나눕니다. 1. 다항식의 계수를 나열: \( [1, -1, -2, 3] \). 2. 첫 번째 계수를 아래로 내리고, 나머지 계수에 차례대로 곱하고 더합니다. 3. 결과적으로 몫의 계수는 \( [1, -2, -2] \), 나머지는 \( 3 \)이 됩니다. 몫: \( x^2 - 2x - 2 \), 나머지: \( 3 \). |
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결론 나머지가 3임을 확인하여 정답은 ③입니다. |
4번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 인수분해는 다항식을 두 개 이상의 곱으로 분리하는 기법입니다. 이를 통해 문제를 해결합니다. |
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풀이 과정 주어진 다항식: \( x^3 - 27 \). 1. 세제곱 공식을 활용하여 \( (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \)로 분리합니다. 2. 상수항 \( -27 \)은 \( -3^3 \)으로 나타나며, \( x - 3 \)이 인수임을 확인합니다. |
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결론 인수분해 과정을 통해 정답은 ③입니다. |
5번 문제
정답: ④
문제 풀이
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문제 분석 허수 \( i \)의 성질을 활용하여 주어진 방정식을 정리하고 값을 구합니다. |
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풀이 과정 1. 허수 \( i \)의 제곱은 \( i^2 = -1 \)임을 이용하여 계산합니다. 2. 양변에서 허수를 제거하고 실수항만 남겨 계산을 간소화합니다. 3. 정리 후 \( a = 1 \)임을 확인합니다. |
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결론 허수의 성질을 활용하여 정답은 ④입니다. |
6번 문제
정답: ①
문제 풀이
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문제 분석 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하고 적용하여 문제를 풉니다. |
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풀이 과정 1. 이차방정식의 근의 합 공식: \( -\frac{b}{a} \). 2. 계수 \( a = 1 \), \( b = 3 \)을 대입하면 근의 합은 \( -\frac{3}{1} = -3 \)입니다. |
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결론 계산 결과 정답은 ①입니다. |
7번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 이차함수의 그래프에서 최대값을 확인하여 문제를 해결합니다. |
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풀이 과정 1. 주어진 함수의 최고점(꼭지점)을 찾습니다. 2. 그래프를 통해 \( x = 2 \)일 때 \( y = 5 \)임을 확인합니다. 3. 최대값은 \( 5 \)입니다. |
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결론 이차함수의 최대값은 \( 5 \)로, 정답은 ③입니다. |
8번 문제
정답: ①
문제 풀이
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문제 분석 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 세 근의 합과 곱을 계산하는 문제입니다. 이를 이해하면 문제를 해결할 수 있습니다. |
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풀이 과정 1. 주어진 삼차방정식의 일반형은 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)입니다. 2. 근과 계수의 관계에 따라 세 근의 합은 \( -\frac{b}{a} \), 두 근의 곱은 \( \frac{c}{a} \), 세 근의 곱은 \( -\frac{d}{a} \)입니다. 3. 문제에서 주어진 계수들을 대입하여 각 값을 계산합니다. 4. 각 근의 조건을 확인하여 주어진 문제에 맞는 값을 구합니다. |
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결론 근과 계수의 관계를 통해 계산한 결과, 정답은 ①입니다. |
9번 문제
정답: ②
문제 풀이
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문제 분석 연립방정식의 해를 구하는 문제입니다. 주어진 값을 연립하여 대입과 정리를 통해 해를 구합니다. |
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풀이 과정 1. 첫 번째 방정식에서 \( x = 2 \)로 주어진 값을 대입하여 \( y \)의 값을 계산합니다. 2. 두 번째 방정식에 \( x \)와 \( y \) 값을 대입하여 해를 구합니다. 3. 정리 과정을 통해 최종적으로 값을 도출합니다. |
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결론 모든 조건을 만족하는 값은 \( 2 \)로, 정답은 ②입니다. |
10번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 이차부등식의 해를 구하는 문제입니다. 부등식의 해를 구하려면 이차방정식을 먼저 풀고, 그 범위를 확인합니다. |
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풀이 과정 1. 주어진 이차부등식을 0보다 작은 형태로 변형합니다. 2. 이차방정식의 인수분해를 통해 \( (x + 3)(x - 1) < 0 \)의 형태로 작성합니다. 3. 수직선 상에서 해석하여 \( -3 < x < 1 \)임을 확인합니다. 4. 부등식의 해는 음수와 양수 사이 범위에 해당합니다. |
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결론 계산 결과, 정답은 ③입니다. |
11번 문제
정답: ④
문제 풀이
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문제 분석 주어진 두 점의 중점을 계산하는 문제입니다. 중점은 두 점의 좌표를 각각 더한 뒤 2로 나누어 구할 수 있습니다. |
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풀이 과정 두 점이 \( A(1, 2) \), \( B(3, -4) \)라면: - x좌표: \( \frac{1+3}{2} = 2 \) - y좌표: \( \frac{2+(-4)}{2} = -1 \) 따라서 중점은 \( (2, -1) \)입니다. |
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결론 계산 결과 중점은 \( (2, -1) \)이며, 정답은 ④입니다. |
12번 문제
정답: ②
문제 풀이
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문제 분석 주어진 직선과 평행한 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 평행한 직선은 기울기가 동일하다는 성질을 이용합니다. |
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풀이 과정 주어진 직선 방정식은 \( y = -2x + 5 \)이고, 평행한 직선의 기울기는 동일하게 \( -2 \)입니다. 1. 직선의 방정식은 \( y = -2x + b \)의 형태를 가집니다. 2. 주어진 점 \( (0, 1) \)을 대입하여 \( 1 = -2(0) + b \), 따라서 \( b = 1 \)입니다. 3. 최종 방정식은 \( y = -2x + 1 \)입니다. |
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결론 평행한 직선의 방정식은 \( y = -2x + 1 \)이며, 정답은 ②입니다. |
13번 문제
정답: ④
문제 풀이
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문제 분석 원의 방정식은 중심과 반지름을 기반으로 작성됩니다. 문제의 중심과 반지름을 활용하여 방정식을 작성합니다. |
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풀이 과정 원의 일반 방정식은 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)입니다. 중심이 \( (2, 1) \), 반지름이 \( 3 \)이라면: \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 3^2 \). 이를 정리하면 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 9 \)입니다. |
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결론 원의 방정식은 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 9 \)이며, 정답은 ④입니다. |
14번 문제
정답: ④
문제 풀이
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문제 분석 도형의 대칭이동 문제로, 기준축을 중심으로 점의 좌표를 이동시킵니다. 문제의 조건에 따라 x축, y축, 원점을 기준으로 대칭 이동을 계산합니다. |
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풀이 과정 주어진 점 \( (-2, 1) \)에 대해: 1. x축 대칭: y좌표의 부호를 바꿔 \( (-2, -1) \). 2. y축 대칭: x좌표의 부호를 바꿔 \( (2, 1) \). 3. 원점 대칭: x, y좌표 모두 부호를 바꿔 \( (2, -1) \). |
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결론 모든 대칭 이동 결과를 확인한 후, 원점을 기준으로 대칭 이동하면 \( (2, -1) \)이므로 정답은 ④입니다. |
15번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 집합 \( A \)와 \( B \)의 차집합을 계산하는 문제입니다. 차집합은 \( A \)에 포함되지만 \( B \)에 포함되지 않는 원소들의 집합입니다. |
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풀이 과정 집합 \( A = \{1, 3, 4, 5\} \), \( B = \{4\} \)일 때: 1. \( A \cap B = \{4\} \) (공통 원소). 2. 차집합 \( A - B = \{1, 3, 5\} \). 3. 남은 원소들을 확인하여 차집합을 구합니다. |
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결론 차집합은 \( \{1, 3, 5\} \)이며, 정답은 ③입니다. |
16번 문제
정답: ①
문제 풀이
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문제 분석 명제에서 역을 구하는 문제입니다. 명제의 역은 가정과 결론의 순서를 바꾼 형태입니다. |
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풀이 과정 주어진 명제가 "정삼각형이면 이등변삼각형이다"라면: - 원래 명제: \( P \implies Q \) (정삼각형 \( P \), 이등변삼각형 \( Q \)) - 역 명제: \( Q \implies P \) (이등변삼각형이면 정삼각형이다). |
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결론 명제의 역은 "이등변삼각형이면 정삼각형이다"이며, 정답은 ①입니다. |
17번 문제
정답: ①
문제 풀이
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문제 분석 역함수를 구하는 문제입니다. 역함수는 원래 함수에서 정의역과 치역을 교환하여 계산합니다. |
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풀이 과정 주어진 함수에서 \( x \to y \) 관계를 \( y \to x \)로 변환합니다. - 예: 원래 함수에서 \( x = 1 \)일 때 \( y = 5 \)라면, - 역함수에서는 \( y = 1 \)일 때 \( x = 5 \)가 됩니다. |
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결론 역함수를 계산하여 \( 4 \to 1 \) 관계를 확인하면, 정답은 ①입니다. |
18번 문제
정답: ③
문제 풀이
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문제 분석 무리함수의 평행이동을 계산하는 문제입니다. x축과 y축의 이동값을 계산하여 이동된 함수를 작성합니다. |
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풀이 과정 1. x축으로 \( a \)만큼 이동: \( f(x) \to f(x-a) \). 2. y축으로 \( b \)만큼 이동: \( f(x) \to f(x) + b \). 주어진 함수의 이동 형태를 적용하면 이동값을 확인할 수 있습니다. |
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결론 이동된 함수의 결과는 이동값 \( a \)와 \( b \)를 반영하며, 정답은 ③입니다. |
19번 문제
정답: ②
문제 풀이
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문제 분석 순열을 이용하여 경우의 수를 계산하는 문제입니다. 선택 순서가 고려된 경우의 수를 구합니다. |
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풀이 과정 1. 선택할 대상이 3개이고, 순서가 중요하므로 순열을 이용합니다. 2. 경우의 수 계산: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \). 3. 계산된 경우의 수를 확인하여 결과를 확인합니다. |
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결론 모든 조건을 만족하는 경우의 수는 \( 6 \)이며, 정답은 ②입니다. |
20번 문제
정답: ①
문제 풀이
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문제 분석 조합을 이용하여 순서 없이 경우의 수를 계산하는 문제입니다. 중복된 경우를 제외하고 고유의 경우의 수를 구합니다. |
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풀이 과정 1. 총 선택 대상이 4개이고, 3개를 선택하며 순서는 고려하지 않습니다. 2. 조합 계산: \( \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \). 3. 결과적으로 중복된 경우를 제외한 고유의 선택 수를 확인합니다. |
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결론 모든 조건을 만족하는 경우의 수는 \( 4 \)이며, 정답은 ①입니다. |